oeil cube

 

« Les perceptions des sens et les jugements de l’esprit sont des sources d’illusion et des causes d’incertitude » disait l’écrivain et critique littéraire français Anatole France. Il suffit de faire l’expérience de l’étrange triangle magique pour s’en apercevoir…

 

 

Qu’est-ce que le triangle magique ?

Un triangle magique est tout simplement un faux triangle mettant en scène une illusion. Explications :

Prenons un triangle rectangle dont la longueur de la base vaut 13 et la hauteur 5. Découpons ensuite ce même triangle en 4 régions, d’après un simple quadrillage et de telle sorte que plusieurs reconstructions soient possibles.

Nous obtenons par exemple :

  • Une région composée de 5 carrés, représentée en bleu.
  • Une région composée de 7 carrés, représentée en jaune
  • Une région composée de 8 carrés, représentée en vert.
  • Une région composée de 12 carrés, représentée en rouge.

 

le carre manquant

 

 

 

Se passe alors un phénomène étrange : parmi toutes les reconstitutions possibles du triangle, certaines d’entre elles font disparaitre un carré.

 

 

 

 

Comment cela est-il possible ?

Appliquons la formule calculant l’aire d’un triangle à celui-ci :

A = (b X h)/2 donc :

A = (13 X 5)/2

A = 32,5

Pourtant, si l’on fait la somme de tous les carrés, nous obtenons un autre résultat :

5 + 7 + 8 + 12 = 32

Cet écart traduit une illusion appelée paradoxe du carré manquant. Il s’agit d’une construction géométrique étroitement liée à la célèbre suite de Fibonacci. Celle-ci représente une suite d’entiers dans laquelle chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …etc.

La différence entre le produit de deux termes consécutifs dans la suite de Fibonacci  (comme 3 et 5) et le produit des deux termes adjacents ( comme 2 et 8) vaut toujours 1.

Exemple :

3 X 5 = 15

2 X 8 = 16

16 – 15 = 1

En réalité, la base du triangle magique est toujours soit légèrement convexe, soit légèrement concave. Le carré manquant compense cet écart non visible. Un triangle magique n’est donc pas un vrai triangle car sa base n’est pas un segment.

carre manquant

 

On retrouve des variante de ce drôle de paradoxe avec d’autres illusions du même genre. Par exemple en utilisant quatre quadrilatères et un carré :

On place les quadrilatères de telle sorte qu’il y est la place pour un petit carré en leur centre. En pivotant ces quadrilatères, on peut combler cet espace (carré), alors que l’aire totale de la figure semble inchangée. Cette illusion repose sur le fait que le petit carré central formé par le nouveau positionnement des quadrilatères est légèrement plus petit que le carré précédent.

 

 

dissection de sam loyd

Une autre variante a été inventée par le mathématicien (compositeur américain de casse-têtes numériques et logiques relevant des mathématiques récréatives) Sam Loyd, où il transforme un carré d’aire 64 en un rectangle d’aire 65.

Ici aussi, les côtés des pièces formant les figures ne sont pas parfaitement rectilignes et donnent naissance à une illusion très convaincante.

 

 

Sources : Wikipédia

Sources images : dribble